当我走进门时，Marylou的学前班上的孩子们都只穿着一只鞋。我很困惑。我原以为会看到一堂数学课，但我看到的却是孩子们把鞋扔成一堆。我很快明白这是数学活动。

Marylou在铺在地板上的一幅浴帘上画出了6 x 10的网格。她让孩子们把这些鞋子分为6堆，并且要符合他们商量好的某些特性——凉鞋、懒人鞋、有鞋带的鞋等等。然后，在网格最底部的一行，他们从每堆鞋中选出一只鞋放在一个方格里，然后再把那堆鞋中其余的鞋子放在第一只鞋上方的方格里，一个方格放一只鞋子。当孩子们数出鞋子的数量后，用某个字母（如L表示鞋带）给鞋子分类。在每一列下方，他们写出该类别鞋子的总数，然后继续讨论：孩子们今天到学校时穿的哪种鞋最多？他们需要多穿多少只尼龙搭扣鞋，才能使尼龙搭扣鞋列跟懒人鞋所在的列一样高？

对于孩子们来说，这项活动就是个游戏。

对于Marylou来说，这是严肃的活动。在这样的一堂课上，她让孩子们参与了数学课程的多个部分：分类、基础数字技能（数数、一对一的对应、基数、书写数字）、画图和测量。

在我造访的另一个学前班上，孩子们探索了图形的决定性特征。在运动场上，三名儿童站在间距相等的位置上，一条绳索围着他们拉直，构成一个等边三角形。教师Juan问这些孩子，他们构成了什么图形，以及总共有多少个角和边。然后，他让其中一名儿童移动位置，同时保持绳索拉直的状态，然后他提了相同的问题。Juan还要孩子们周围围着拉直的绳索，按四人一组移动位置，来形成有两条长边和两条短边的矩形，然后再移动位置，形成四条相等的边。他提出了一系列问题——这个图形有多少个角？多少条边？边长相等的矩形叫什么？所有矩形有什么共同点？

一些没有直接参与拼合图形的孩子爬到了玩耍装置上，从上方观察这些图形，并且热切地大声说出Juan所提问题的答案。

在其他课堂上，我观察到孩子们在满怀热情地数橡皮擦、玩具小动物、彩色棉球和纽扣的数量，然后把数数结果呈现在纸上——通常是画出各种物体或圆圈来表示每种物品，并把物品放在所画的图形上，以确保计数准确。我观察到孩子们在玩战争纸牌游戏，他们会数每张数字纸牌上的符号（红桃、黑桃、梅花、方块），以确定谁的纸牌上的数量更多。（教师可以将该游戏设计得更加复杂，例如让每个孩子拿到两张纸牌，将它们相加，然后跟其他孩子比较总和的大小。） 我看到孩子们在课堂上寻找各种图形，讨论角落略有曲线的窗户到底算不算矩形。我看到一名教师在读绘本，并要求孩子们找出房子前面、上面、旁边和后面的物体，并辨认插图中个头最大和最小的小狗。

玩耍与学术技能：并非零和博弈

参与这些活动时，孩子们是否知道他们在上数学课？或许并不知道。但他们的确在学习数学，我将这称为游戏式教学。

所有这些活动中的教师都是有意图的，他们设定了具体的数学学习目标。一切都是精心设计的。其中一些活动的额外益处在于允许孩子们四处移动，让整个活动对于坐不住的孩子来说更有吸引力。并且，在所有这些活动当中，教师都有机会通过观察来评估儿童的理解情况，并邀请特定的孩子来加入交谈。

在游戏与传授学术知识和技能之间不必取舍。

这也许不太像是符合标准的学术教学，但它却的确是的。许多幼教教师因为当前被强加给学前班的标准和责任压力，产生了可被理解的焦虑。许多人跟我倾诉了担忧，即这些压力可能干扰到儿童真正的需要——寓教于乐的日常机会。一些教师还担心在低年龄段教授学术技能可能损害儿童自身的好奇心和动机。但这些游戏式数学教学的示例清楚地表明，在游戏与传授学术知识和技能之间不必取舍。大量研究证明，儿童很喜欢学习数学，而且所学到的知识远远超过以前的假设——而且根本不需要抽认卡或工作表（国家科学研究委员会，2001；Clements及Sarama，2014；Carpenter等人，2016）。

游戏式数学有个额外的好处：社交技能的发展可轻松整合到由教师策划的数学活动中。研究显示，某些类型的桌面游戏（如包含大量数数内容的线性路径游戏，如蛇梯棋）可促进儿童的数学能力（Siegler及Ramani，2009）。它们还能使儿童练习遵守规则，轮换以及在胜利和失败时保持风度。同样，Marylou的鞋子分类活动要求孩子们讨论并就分类达成一致意见，并且举手回答问题，而且每个人都能参与。Juan的图形活动要求孩子们根据教师的指示，谁应当移动到哪个位置，并且在协作组成图形时关注他人。孩子们并不是只学习数学，放弃学习社交技能；其实他们同时在学习数学和社交技能。

由教师发起和由儿童发起的数学活动

有意图、有计划的活动为什么很有必要？教师不需要将学术学习融入由儿童发起的活动，从而以儿童为中心吗？例如，教师不能利用儿童在用积木搭建城堡，以帮他们了解相对大小吗？对于一群正讨论每个人得到了多少个农场动物玩具的儿童，她不能顺其自然地进行数数和比较教学吗？

是的，教师可以也应当抓住自然而然产生的学习机会。但他们不能完全依赖于自然产生、由儿童发起的可教学机会。这会使教授数学概念的顺序——甚至是这些知识能否被教授，过多地依赖于机会。此外，如果教师只依赖于儿童的主动性，那儿童进行学习的机会就会差别很大；一些儿童会有许多机会，而其他人则可能几乎毫无机会。而且，如果教师不计划通过小组和全体活动来提供有关儿童知识和技能的系统性信息，他们就会很难跟踪儿童所理解的内容以及他们需要什么样的支持来成长和学习。

数学标准并不排斥让教师开展游戏式、引人入胜的活动。而且这些标准能帮助教师确定所开发的活动内容和顺序。虽然责任可能有利有弊，但取决于其实施方式，数学标准依然会很有效。它们由内容领域专家和教育工作者组成的各种群体精心打造和审查，因此教师不必独自承担一切。

使标准、责任和成套课程发挥作用

标准虽然可能令人望而生畏，但它们是有价值的。各州、学区和其他组织（如Head Start）开发的数学标准可作为专家眼中可取的目标。如果教师不清楚应当追寻怎样的目标，也将很难找到达成目标的途径。

但是，标准对教学应起到的是引导作用，而非命令。我观察到一些教师对于符合标准或执行以标准为基础的课程感到非常焦虑，于是所教授的概念对于某些孩子来说过于超前。如果出现这种情况，儿童很快会感到不安和沮丧——或者直接拒绝参与。

如果教师只依赖于儿童的主动性，那儿童进行学习的机会就会差别很大。

标准还可能导致低估了一些孩子已经可以学习的内容。近期一项面向全国幼儿园学生代表样本的研究表明，在进入幼儿园之前，儿童已经掌握了幼儿园教师所教授的大多数数学技能（Engel等人，2016）。例如，虽然大多数儿童进入幼儿园时已经会基本的数数，并且能识别简单的几何形状，但他们的教师表示每月还在这些内容上投入了大约13天时间。而且，尽管很少有进入幼儿园的儿童已经懂得基本加减法，但每月用于培养这些技能的时间仅有大约9.5天。此研究建议，教师通常不需要在教授基本数数和图形时更深入地传授概念，并且若在基本加减法等儿童未接触过的新内容上投入更多时间，可提升数学成绩（Engel等人，2016）。

最终，尽管标准有助于确立明确的年度学习目标，但教师必须确定对他们的学生来说适合的短期目标。刚上学的孩子知识和技能水平参差不齐。教学应当适应孩子所处的阶段——或者仅仅超前一点点，俄罗斯心理学家Lev Vygotsky（1978）将这称为最近发展区（儿童在几乎不需要帮助或指导的情况下可达到的水平）。随着孩子逐步进入学前班和小学，可能需要对小一到两岁的孩子采取以标准为重点的教学。他们需要掌握此类技能和知识，然后才能达到相应年级水平的标准。这意味着，教师需要对教学进行调整，以帮助孩子掌握必备的技能，并且在理想情况下，学校需要向某些学生提供额外的支持。其他孩子可能已准备好继续进步，发展年长一岁甚至两岁的儿童应掌握的知识和技能。简而言之，标准可提供有用的参考目标，但只有孩子本身才能向你表明他们的起点在何处。

有用的路线图

了解最终的目标与掌握路线图相差甚远，而教师也需要路线图来为儿童的进步提供支持。除了标准以外，教师需要了解儿童掌握数学概念和技能的一般顺序。通过了解典型的学习轨迹，教师就能确定儿童向着符合标准前进的下一步。

研究者目前对典型的轨迹已经有了深入的了解（例如，可参考Clements及Sarama，2014）。例如，如果你在一名学前班学生刚数完的六个物体基础上再增加两个物体，并且问他：“现在有多少个？”，大多数孩子一开始会从最初的那些物体重新开始数（从一到六），然后再数后来增加的两个。稍后，在更高级的阶段，他们就会“接着数”——也就是从先前数过的数字（六）开始，并加上新增的物体（七、八），最后得到总数（Siegler，2016）。依然从头开始数的孩子需要帮助，才能学会记住先前的计数。教师可以采取“全部遮住”的游戏形式，用她的手或杯子盖住所有物体，问孩子如果不看她已经数过的这些物体，能不能弄清楚有多少个物体。对于接着继续数的孩子，可以给他们提供更多的物体，或者要求他们解决涉及减少物体的问题（倒着数）。

学习轨迹的另一个例子是孩子通常先辨认出典型图形，然后才会清楚地描述这些图形的决定性特征。一旦孩子大概了解了基本图形及其名称，教师就能利用绳索游戏和上文提到的图形搜寻等活动，帮助孩子理解具体图形的决定性特征。建立这些理解后，孩子可能就已准备好学习更复杂的图形。由于确定下一步需要明确儿童在典型学习轨迹中的相对位置，因此可体现儿童当前知识和技能水平的活动就非常有价值。儿童个体的数学学习轨迹不会完全符合研究者通过研究大量儿童总结出的“典型”轨迹。有关轨迹的研究仍能对新数学概念的教授顺序给予一定的指导。

利用按照研究成果确定了范围和次序的课程，有助于教师按照适当的顺序教授数学概念，但成套课程并非必要（而且不是所有的成套课程都立足于可靠的研究）。许多学校和教师依据有关数学学习轨迹的标准和研究成果来开发自己的数学活动。即使学校采用的是成套课程，教师也可以通过自行开展活动来予以补充，这些活动可以是由同事们开发的，或者来自网上。课程可作为非常有用的资源，但教师比课程开发者更了解自己的学生，并且他们需要进行调整来满足学生的需要。

教师偶尔会抱怨管理者强迫他们采用与课程相关联的严格步骤指南，根据日历时间来教授新概念，而不是依据儿童的掌握情况。步骤指南旨在确保所有的材料都得到讲授，并且教师使所有孩子都能学习严谨的课程。但步骤指南并不能保证所有孩子都能达成最终的学习目标。某些孩子的起点可能远远落后于同龄人，或者未熟练掌握教学语言。其他孩子在入学时可能已掌握了在学年结束时预计应掌握的知识和技能。严格遵守步骤指南，常会导致对某些孩子来说教学难度过大，而对其他孩子则过于简单。

结论

标准和责任都有价值，但我们必须确保它们不会妨碍以儿童为中心、适合发展的游戏式学习。本文所描述的教学要求教师有意识地精心计划课程，并且在一定程度上发挥指导作用——至少在某些数学活动中需要如此。但如上文的例子所示，儿童不太可能注意到游戏与学习数学概念和技能之间的任何区别。

参考文献

Carpenter, T.P., M.L. Franke, N.C. Johnson, A.C. Turrou, & A.A.Wager. 2016. Young Children’s Mathematics: Cognitively Guided Instruction in Early Childhood Education. Portsmouth, NH: Heinemann.

Clements, D.H., & J. Sarama. 2014. Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach. 2nd ed. Studies in Mathematical Thinking and Learning Series. New York: Routledge.

Engel, M., A. Claessens, T. Watts, & G. Farkas. 2016. “Mathematics Content Coverage and Student Learning in Kindergarten.” Educational Researcher 45 (5): 293–300.

National Research Council. 2001. Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Eds. J. Kilpatrick, J. Swafford, & B. Findell. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division of Behavioral and Social Sciences and Education. Washington, DC: National Academy Press.

Siegler, 5.S., & G.B. 5amani. 2009. “Playing Linear Number Board Games—But Not Circular Ones—Improves Low- Income Preschoolers’ Numerical 8nderstanding.” Journal of Educational Psychology 101 (3): 545–60.

Siegler, R.S. 2016. “Continuity and Change in the Field of Cognitive Development and in the Perspectives of One Cognitive Developmentalist.” Child Development Perspectives 10 (2): 128–33.

Vygotsky, L.S. 1978. Mind in Society: The Development of Higher Psychological Processes. Rev. ed. Ed. & trans. M. Cole. Cambridge, MA: Harvard University Press.

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